Question

（1）请利用学过的数学知识作出y₁=3^x的大致图象；
（2）请证明y₁和y₂=x²只有一个负根；
（3）设y₃=ax+1与y₂交于A，B两点，那么是否存在这样的a，使得AOB为直角三角形，请在计算后给予说明．

Answer 1

分析：（1）求出关键点的坐标，即可画出大致图象；
（2）画出y₂=x²的图象，观察y₁和y₂=x²的交点个数，即可证明；
（3）当a=0时，可得直角三角形．

解答：解：（1）取点（0，1），（0，3），（0，9），顺次连接即可得到大致图象．


（2）证明：如图：
两函数图象交与点A，而A的横坐标为负数，
可见y₁和y₂=x²只有一个负根．


（3）如图，当a=0时，y₃=1．
可得△BCD，易得：B（-1，1），（1，1）．
则∠BCD=90°，且BC=CD．
△AOB为等腰直角三角形．

点评：本题是二次函数综合题，涉及指数函数、一次函数和常数函数等内容．作出函数图象，利用数形结合是解题的关键．要明确函数图象和方程组的解的关系．