Question

如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．
（1）线段AD与NE相等吗？请说明理由；
（2）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

Answer 1

解：（1）AD=NE．理由如下：
根据题意，知AD∥BC．
∴∠EAD=∠AEN（内错角相等），
∵∠DMA=∠NME（对顶角相等），
又∵M是线段AE的中点，
∴AM=ME．
∴△ADM≌△ENM（ASA）．
∴AD=NE（对应边相等）．

（2）MD⊥MF，且MD=MF
证明：连接DF，FN，
由CE是正方形的对角线，得到∠DCF=∠NEF=45°，
根据上题可知线段AD=NE，
又∵四边形CGEF是正方形，
∴FC=FE．
在△DCF和△NEF中，
，
∴△DCF≌△NEF（SAS）．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，
∴△FDN是等腰三角形，
又∵∠CFN+∠EFN=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，即∠DFN=90°，
∴△FDN为等腰直角三角形，
∵在题（1）中已证明△ADM≌△ENM，
∴DM=MN．
∴MD⊥MF．
分析：（1）根据已知条件证明△ADM≌△ENM，从而证明线段AD与线段NE相等．
（2）根据已知条件证明△DCF≌△NEF，证明出线段DF与线段FN相等，从而证出△FDN为等腰三角形，再根据题（1）中已证明△ADM≌△ENM，所以DM=MN．进而求出线段MD、MF的关系．
点评：解答本题的关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定定理来判定三角形全等，再根据三角形全等的性质来解答问题．