Question

如图，二次函数y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4）的图象与x轴相交于点A、B两点．
（1）求点A、B的坐标（可用含字母m的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数y=

9

x

的图象相交于点C，且∠BAC的余弦值为

4

5

，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）求点A、B的坐标，由图形知A、B的纵坐标=0，代入二次函数y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4），得到关于x的方程，求出点A、B的横坐标，从而解决问题；
（2）求二次函数y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4）的解析式，要解决m的值，需求出一点的坐标，可以根据∠BAC的余弦值为

4

5

，设AD=4k，AC=5k，则CD=3k，得到点C（4k-4，3k），又二次函数的图象与反比例函数y=

9

x

的图象相交于点C，通过反比例函数y=

9

x

求出点C的坐标，代入y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4），得到二次函数的解析式．

解答：解：（1）当y=0时，

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m=0，（1分）
x²+（m+4）x+4m=0，x₁=-4，x₂=-m．（2分）
∵m＜4，
∴A（-4，0），B（-m，0）（5分）

（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，cos∠BAC=

AD

AC

=

4

5

，
设AD=4k，AC=5k，则CD=3k．（6分）
∵OA=4，
∴OD=4k-4，点C（4k-4，3k）．（7分）
∵点C在反比例函数y=

9

x

的图象上，
∴3k=

9

4k-4

．（8分）
4k²-4k-3=0，k1=-

1

2

（舍去），k2=

3

2

．（9分）
∴C（2，

9

2

）．
∵点C在二次函数的图象上，
∴

9

2

=

1

4

×22+2(

m

4

+1)+m，
∴m=1，（11分）
∴二次函数的解析式为y=

1

4

x2+

5

4

x+1．（12分）

点评：本题考查了反比例函数，代入法求二次函数的坐标及函数解析式，同时考查了解一元二次方程．