Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作AB的垂线ED，交BA的延长线于点D，EA的延长线与⊙O交于点C，DC=DE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若sin∠ACD=

5

5

，⊙O的半径为

5

，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接OC，若要证明DC是⊙O的切线，则可转化为证明∠DCO=90°即可；
（2）设AD=k，则AE=

5

k，ED=2k，利用勾股定理计算即可．

解答：（1）证明：连结OC，
∵DE=DC，
∴∠4=∠E，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠4+∠1=∠E+∠3=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）∵∠4=∠E，
∴sin∠E=

5

5

，
设AD=k，则AE=

5

k，ED=2k，
∴DC=2k，
在Rt△OCD中，
由勾股定理得：OD²=DC²+OC²，
∴(

5

+k)2=(2k)2+

5

2，
∴k=0(舍)，k=

2 5

3

，
∴AE=

5

k=

10

3

．

点评：本题考查了勾股定理的运用以及切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．