题目内容
已知抛物线y＝a(x－m)2＋n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
(1)如图，求抛物线y＝(x－2)2＋1的伴随直线的解析式．
(2)如图，若抛物线y＝a(x－m)2＋n(m＞0)的伴随直线是y＝x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
(3)如图，若抛物线y＝a(x－m)2＋n的伴随直线是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴随四边形ABCD是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由．
解析：
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(1)由已知得B(2，1)，A(0，5) 1分 设所求直线的解析式为y＝kx＋b，则 解得 (2)如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为(0，－3)，点C的坐标为(0，3) 1分
可得AC＝6 1分 ∵□ABCD的面积为12， ∴S△ABC＝6即S△ABC＝ ∵m＞0，即顶点B有y轴的右侧，且在直线y＝x－3上， ∴顶点B的坐标为B(2，－1) 1分 又抛物线经过点A(0，－3) ∴a＝－ ∴y＝－ (写成y＝－ (3)①方法一：如图，作BE⊥x轴于点E 由已知得：A的坐标为(0，b)，C的坐标为(0，－b)． ∵顶点B(m，n)在直线y＝－2x＋b上， ∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b) 1分 在矩形ABCD中，OC＝OB， OC2＝OB2 即b2＝m2＋(－2m＋b)2 ∴5m2－4mb＝0 ∴m(5m－4b)＝0 ∴m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝ ∴n＝－2m＋b＝－2× 方法二：如图，作BE⊥x轴于点E 类似方法一可得：A的坐标为(0，b)，C的坐标为(0，－b)． ∵顶点B(m，n)在直线y＝－2x＋b上， ∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b) 1分 ∴AE＝b－(－2m＋b)＝2m CE＝－2m＋b－(－b)＝2b－2m，BE＝m， ∵AB⊥BC于点B， ∴△ABC∽△AEB， BE2＝AE·CE，即m2＝2m(2b－2m)， ∴m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝ ∴n＝－2m＋b＝－2× ②存在，共四个点如下： P1( (只写“存在”的给1分) |
1分
，∴所求直线的解析式为y＝－2x＋5 1分
AC·BE＝6 ∴BE＝2
b 1分
b 1分
b 1分
b)，P2(
b)，P3(
b)，P4(
b) 4分
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状元及第系列答案
同步奥数系列答案
符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
x2＋bx＋c经过点A(0，1)、B（3，
）两点，BC⊥x轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．