Question

如图，⊙P与轴相切于坐标原点O（0，0），与轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．

（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标；               

（2）若AC=, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值（用含的代数式表示）．                

Answer 1

解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为，

        　　把点A（0，4）代入上式得：，

       　　∴，

       　　∴抛物线的对称轴是：．

（2）由已知，可求得P（6，4）．

提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，

即P（6，4）．

（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分）

⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为，此时点N（，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，

此时：NG=-（）， 

=．       

∴

∴当时，△CAN面积的最大值为，

由，得：，∴N（， -3）．

法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则

（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）