Question

24、如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD²=AC•AE．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理及平行线的性质不难求解；
（2）由（1）可得∠ADB=∠E，又∠A为公共角，且AB=AC，易得△ABD∽△ADE，利用相似三角形的性质即可得证．

解答：证明：（1）在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；
（2）由（1）得∠ADB=∠E，
且∠ADB=∠C，
即可得出AB=AC，
又∠A为公共角，且AB=AC，
易得△ABD∽△ADE，
即有AB：AD=AD：AE，
即有AD²=AB•AE=AC•AE．
即证．

点评：本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和垂径定理等知识点，正确运用好圆心角、弧和弦的关系是解题的关键．