Question

如图，在半径为9，圆心角为90°的扇形OAB的

AB

上有一动点P，PH⊥OA，垂足为H，设G为△OPH的重心（三角形的三条中线的交点），当△PHG为等腰三角形时，PH的长为

 

．

Answer 1

分析：题中只说△PHG为等腰三角形．没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分三种情况进行分析，从而求得PH的长．

解答：解：如图，MH，NP是Rt△OPH的两条中线，交点为G，
∵MN∥PH，MN=

1

2

PH
∴MN⊥OH
设PH=x
（1）当PG=PH=x时，
∵MN∥PH，
∴

NG

PG

=

MN

PH

=

1

2

∴NG=

1

2

x
∵NH²=NP²-PH²=（

3

2

x）²-x²=

5

4

x²，ON²+MN²=OM²
∵ON=NH，
∴

5

4

x²+（

1

2

x）²=（

9

2

）²
∴x=

3

2

6

；

（2）当PH=GH=x时，
同理得x=3；

（3）当GH=PG时，G点在线段PH的中垂线上，G点不是三角形的重心了．
所以PH的长为3或

3

2

6

．

点评：本题考查了三角形重心的概念，中位线定理，相似比，勾股定理等知识，还涉及了分类讨论的思想，具有较强的综合性．