Question

已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．

(1)如图，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；

(2)如图，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

(3)如图，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)①PE＝PB，②PE⊥PB．(2分) 　　(2)(1)中的结论成立． 　　①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， 　　∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB．(3分) 　　又PC＝PC， 　　∴△PDC≌△PBC．(4分) 　　∴PD＝PB．(5分) 　∵　PE＝PD， 　∴PE＝PB．(6分) 　　②法一：由①，得△PDC≌△PBC． 　　∴∠PDC＝∠PBC．(7分) 　　又PE＝PD， 　　∴∠PDE＝∠PED．(8分) 　　∴∠PDE＋∠PDC＝∠PEC＋∠PBC＝180°． 　　∴∠EPB＝360°－(∠PEC＋∠PBC＋∠DCB)＝90°．(9分) 　　∴PE⊥PB．(10分) 　　法二：过点P作PM∥BC交CD的延长线于点M， 　　过点P作PN∥DC交CB的延长线于点N． 　　∴四边形PMCN为平行四边形． 　　又∠MCN＝90°， 　　∴四边形PMCN为矩形． 　　∵∠MCA＝∠NCA， 　　∴四边形PMCN为正方形． 　　∴MP＝NP，∠NPM＝90°．(8分) 　　又由①，得PE＝PB． 　　∴Rt△PEM≌Rt△PBN．(9分) 　　∴∠MPE＝∠NPB． 　　∴∠EPB＝∠MPE＋∠MPB＝∠NPB＋∠MPB＝∠NPM＝90°． 　　∴PE⊥PB．(10分) 　　法三：过点P作PM⊥DC交CD的延长线于点M， 　　过点P作PN⊥BC交CB的延长线于点N． 　　又∠MCN＝90°， 　　∴四边形PMCN为矩形． 　　又∠MCA＝∠NCA， 　　∴四边形PMCN为正方形． 　　∴MP＝NP，∠NPM＝90°． 　　又由①，得PB＝PE， 　　∴Rt△PEM≌Rt△PBN． 　　∴∠MPE＝∠NPB． 　　∴∠EPB＝∠MPE＋∠MPB＝∠NPB＋∠MPB＝∠NPM＝90°． 　　∴PE⊥PB． 　　法四：过点P作PM⊥DC交CD的延长线于点M，延长BA交PM于点F，易得四边形FMCB为矩形． 　　∴∠BFM＝90°． 　　∴∠MPB＋∠PBF＝90°． 　　∵PE＝PD，AD∥MP， 　　∴∠EPM＝∠DPM＝∠ADP． 　　由①，得△PDA≌△PBA． 　　∴∠PBF＝∠PDA＝∠EPM． 　　∴∠EPB＝∠MPB＋∠EPM＝∠MPB＋∠PBA＝90°． 　　∴PE⊥PB． 　　法五：过点P作PM⊥DC交CD的延长线于点M． 　　∴PM∥BC． 　　∴∠MPB＋∠PBC＝180°． 　　∵∠ABC＝90°， 　　∴∠MPB＋∠PBA＝90°． 　　∵PE＝PD，AD∥MP， 　　∴∠EPM＝∠DPM＝∠ADP． 　　由①，得△PDA≌△PBA， 　　∴∠PBA＝∠ADP＝∠EPM． 　　∴∠EPB＝∠MPB＋∠EPM＝∠MPB＋∠PBA＝90°． 　　∴PE⊥PB． 　　(3)正确画出图形．(12分) 　　结论：①PE＝PB，②PE⊥PB．(14分)