Question

如图1，在矩形纸片ABCD中，，其中m≥1，将该矩形沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP．设，其中0＜n≤1．

（1）如图2，当（即M点与D点重合），时，则 ；

（2）如图3，当（M为AD的中点），m的值发生变化时，求证：；

（3）如图1，当，n的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）证明见解析；（3），不发生变化，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由条件可知，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD，设AD=a，则AB=2a，由矩形的性质可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论.

（2）延长PM交EA延长线于G，由条件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性质就可以得出结论.

（3）如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，通过证明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是为定值．

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．

∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．

∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．

在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，

∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．

∵FN=FC，∴AE=FC．

∵AB=CD，∴AB-AE=CD-CF. ∴BE=DF. ∴BE=DE．

Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.

∴BE=2AD-AD=.

∴.

（2）如图3，延长PM交EA延长线于G，∴∠GAM=90°．

∵M为AD的中点，∴AM=DM．

∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.

∴∠GAM=∠PDM．

在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，

∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.

在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，

∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.

∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.

（3），值不变，理由如下：

如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，

∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.

∵四边形FKBC是矩形，∴KF=BC，FC=KB.

∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.

∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.

∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.

∴即.

∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.

∴的值不变．

考点：1. 折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质．