题目内容

如图，与∠ABC是同位角的角有

[　　]

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案：B
解析：

在两条直线的上方（或下方），在第三条直线的同侧的两个角是同位角

与∠ABC是同位角的角有2个：如图中所标的角

　

提示：

根据同位角的概念分析．

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某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

；
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式

（0≤x≤4）的最小值．

（2010•邢台二模）规律：
如图1，直线m∥n，A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点．如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABP与△ABC的面积总相等，其理由是

同底等高的两个三角形面积相等

同底等高的两个三角形面积相等

．
应用：
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是

．
（2）如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求△ACF的面积．
（3）如图4，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若正五边形ABCDE的边长为a，求△ACH的面积（结果不求近似值）．

【问题】在正方形网格中，如图（一），△OAB的顶点分别为O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺3：1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△OA′B′，并写出点A'、B'的坐标：A′（

）；
（2）在（1）中，若点C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标（

）；
【拓展】在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P'在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
【探索】如图（二），完成下列问题：
（3）填空：如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（

）；
（4）如图2，△ABC是边长为3cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A(

，90°)，得到△ADE，求线段BD的长．

如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，2）
（1）在图中画△A′B′C′，使之满足条件：
①△A′B′C′与△ABC是位似图形；
②以点A（1，1）为位似中心；
③位似比为3；
④与△ABC在A点同侧．
（2）写出点B′，C′的坐标．

【问题】在正方形网格中，如图（一），△OAB的顶点分别为O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺3：1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△OA′B′，并写出点A'、B'的坐标：A′（，），B′（，）；
（2）在（1）中，若点C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标（，）；
【拓展】在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P'在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
【探索】如图（二），完成下列问题：
（3）填空：如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（，）；
（4）如图2，△ABC是边长为3cm的等边三角形，将它作旋转相似变换 $数学公式$ ，得到△ADE，求线段BD的长．