Question

如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．

（1）求证：△ADP∽△BDA；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

　

Answer 1

（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，

∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，

∴∠DAE=∠APE=90°，

∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，

∴∠PAD=∠E，

∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，

∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，

∴△ADP∽△BDA；

（2）PA+PB=PC，

证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，

∵PF=PB，∠BPC=60°，

∴△PBF是等边三角形，

∴PB=BF，∠BFP=60°，

∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，

∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠BPA=∠BFC，

在△BPA和△BFC中，，

∴△BPA≌△BFC（AAS），

∴PA=FC，AB=BC，

∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）解：∵△ADP∽△BDA，

∴==，

∵AD=2，PD=1

∴BD=4，AB=2AP，

∴BP=BD﹣DP=3，

∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，

∴∠APD=∠APC，

∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，

∴PAD=∠PCA，

∴△ADP∽△CAP，

∴=，

∴AP²=CP•PD，

∴AP²=（3+AP）•1，

解得：AP=或AP=（舍去），

∴BC=AB=2AP=1+．