Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．

（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出

EB

DC

的值；
（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，

EB

DC

=

1

2

，求k的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形BFCE是平行四边形，根据平行四边形的对边平行可得BF∥CE，对边相等可得BF=CE，从而得到AB=BF，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠DBF=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△BFD全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=BE，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠BFD，再求出∠CFD=90°，从而判断出△CDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得DC=

2

CF，然后相比即可得解；
（2）过点C作CF∥BE且是CF=BE，判断出四边形BFCE是平行四边形，根据平行四边形的对边互相平行可得BF∥CE，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠DBF=90°，再根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△ABE和△BFD相似，根据相似三角形对应边成比例可得

DF

BE

=

BD

AE

=k，相似三角形对应角相等可得∠ABE=∠BFD，然后求出∠DCF=90°，利用勾股定理列式用CF表示出DC，然后列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵CF∥EB，且CF=EB，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴BF∥CE，BF=CE，
∴∠DBF=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠DBF，
∵CE=AB，
∴AB=BF，
在△ABE和△BFD中，

AB=BF ∠A=∠DBF=90° BD=AE

，
∴△ABE≌△BFD（SAS），
∴DF=BE，∠ABE=∠BFD，
∵CF∥BE，
∴∠EBF+∠BFC=180°，
∴∠CFD=180°-∠BFD-∠EBF=180°-∠ABE-∠EBF=180°-∠ABF=180°-90°=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DC=

2

CF，
∵CF=EB，
∴

EB

DC

=

2

2

；

（2）如图，过点C作CF∥BE且是CF=BE，
则四边形BFCE是平行四边形，
∴BF∥CE，BF=CE，
∴∠DBF=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠DBF，
∵CE=kAB，BD=kAE，
∴

BF

AB

=

BD

AE

=k，
∴△ABE∽△BFD，
∴

DF

BE

=

BD

AE

=k，∠ABE=∠BFD，
∵CF=BE，
∴

DF

CF

=

DF

BE

=k，
∴DF=kCF，
∵CF∥BE，
∴∠EBF+∠BFC=180°，
∴∠CFD=180°-∠BFD-∠EBF=180°-∠ABE-∠EBF=180°-∠ABF=180°-90°=90°，
由勾股定理得，DC=

DF2+CF2

=

(kCF)2+CF2

=

k2+1

CF，
∴

CF

DC

=

1

k2+1

，
∵

EB

DC

=

1

2

，EB=CF，
∴

1

k2+1

=

1

2

，
两边平方并整理得，k²=3，
解得k=

3

，k=-

3

（舍去）．

点评：本题是相似形综合题，主要利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，（1）求出△CDF是等腰直角三角形是解题的关键，难点在于（2）利用（1）的思路作辅助线构造出相似三角形以及直角三角形．