Question

【题目】如图，对称轴为直线x=的抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），AB=5

（1）求A、B两点的坐标及该抛物线对应的解析式；

（2）D为BC的中点，延长OD与抛物线在第四象限内交于点E，连结AE、BE．

①求点E的坐标；

②判断ABE的形状，并说明理由；

（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点P，使得四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）①E（2，﹣2），②△ABE是直角三角形；（3）存在点P，使四边形OBEP是平行四边形，坐标为（﹣1，﹣2）．

【解析】试题分析：

（1）由抛物线的对称轴为直线，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），AB=5，可得点A、B的坐标分别为（﹣2，0），B（3，0），由此可设抛物线解析式为： ，再代入点C（0，-3）解出的值即可求得解析式；

（2）①根据线段中点坐标公式由点B、C的坐标可得点D的坐标，由点D的坐标可求得直线OD的解析式；解有OD的解析式和抛物线的解析式组成的方程组即可得到点E的坐标；

②由点A、B、E的坐标可求出AB、BE、AE的长度，根据勾股定理逆定理可判断出△ABE是直角三角形；

（3）过点E作EP∥OB交抛物线于点P，根据点P和E关于直线对称，求得点P的坐标，进一步可求得PE的长，若PE=OB，则点P符合要求，否则就不存在符合要求的点P.

试题解析：

（1）∵点A、B关于对称轴对称，且AB=5

∴A（﹣2，0），B（3，0），

∴可设抛物线的解析式为： ，

把点C的坐标（0，﹣3）代入得： ，解得： ，

∴该二次函数的解析式为： ，即；

（2）①∵点B、C的坐标分别为：（3，0），（0，﹣3），

∴线段BC的中点D的坐标为： .

设直线OE的解析式为： ，

把 D，代入解得： ，

∴OE的解析式为： ，

由，解得， ，

又因为点E在第四象限，

∴E的坐标为（2，﹣2）.

②∵AE=，BE=，AB=5，

∴AB2=AE2+BE2，

∴△ABE是直角三角形；

（3）存在满足条件的点P

过E作PE∥OB，交抛物线于点P，

∵点P和点E（2，﹣2）关于对称轴对称

∴P的坐标为（﹣1，﹣2），

∴PE=3=OB，

又∵PE∥OB，

∴四边形OBEP是平行四边形，

∴存在点P，使四边形OBEP是平行四边形，坐标为（﹣1，﹣2）．