Question

1．我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）如图①，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAPB；
（2）如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD、DC．若∠DCB=30°．则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？

Answer 1

分析 （1）OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M（3，4）或M（4，3）．
（2）需要证明DC²+BC²=AC²，只需证明∠DCE=90°．

解答 （1）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．

（2）证明：连接EC，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
即四边形ABCD是勾股四边形．

点评 本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．