Question

（2011•温岭市模拟）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；
（2）如图（2），设AC中点为E，A′B′中点为P，AC=a，连接EP，当θ=

120

°时，EP长度最大，最大值为

3

2

a

．

Answer 1

分析：（1）当AB∥CB′时，∠BCB′=∠B=∠B′=30°，则∠A′CD=90°-∠BCB′=60°，∠A′DC=∠BCB′+∠B′=60°，可证：△A′CD是等边三角形；
（2）连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，根据图形求出此时的旋转角及EP的长．

解答：（1）证明：∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠BC A′=90°-30°=60°，
∵∠A′=∠A=60°，
∴△A′CD是等边三角形；

（2）解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，
此时θ=∠ACA₁=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=

1

2

A′B′=a，
∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90°
∴CP=

1

2

A′B′=a，EC=

1

2

a，
∴EP=EC+CP=

1

2

a+a=

3

2

a．
故答案为：120，

3

2

a．

点评：此题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题．