Question

【题目】如图，点的坐标为，过点作轴的平行线交轴于点，交双曲线于点，作交双曲线于点，连接、，已知．

求的值．

求的面积．

试判断与是否相似，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；不相似，理由见解析.

【解析】

（1）过N作NB垂直于x轴，垂足为B，由P的坐标得到AP的长，根据AP+PN=AN，求出AN的长，即为N的横坐标，又AN与x轴平行，得到N与P的纵坐标相等，由P的纵坐标得到N的纵坐标，确定出点N的坐标，将N的坐标代入双曲线解析式即可求出k的值；

（2）要求三角形APM的面积，由题意可知三角形APM为直角三角形，只需求出直角边PM和AP即可求出．AP为P的横坐标的值，显然得出，PM为M的纵坐标减去P的纵坐标，延长MP与x轴交于Q点，由PM与AN垂直，得到MQ垂直于x轴，故得到M与P的横坐标相等，由P的横坐标得到M的横坐标，代入反比例解析式求出纵坐标，得到MQ的长，进而求出MP的长，利用直角边乘积的一半即可求出三角形APM的面积；

（3）不相似，理由为：由题意可知三角形APM为直角三角形，根据（2）求出的AP及MP的长，利用勾股定理求出AM的长，再由三角形PMN为直角三角形，由MP与PN的长，利用勾股定理求出MN的长，根据MN2+AM2≠AN2，得到三角形AMN不是直角三角形，故两三角形不可能相似．

（1）过N作NB⊥x轴，交x轴于点B．

∵AN∥x轴，∴P与N纵坐标相等，又AP=2，PN=4，∴AN=AP+PN=2+4=6．

∵P，∴N点坐标为（6，），把N代入解析式y=中，得：k=×6=9；

（2）延长MP，延长线与x轴交于Q点．

∵PM⊥AN，AN∥x轴，∴MQ⊥x轴，∴P和Q的横坐标相等，即Q的横坐标为2，把x=2代入反比例解析式y=中得：y=，则MP=MQ﹣PQ=﹣=3，又AP=2，∴S△APM=MPAP=×3×2=3；

（3）不相似，理由为：

∵△APM为直角三角形，AP=2，MP=3，根据勾股定理得：AM==，又△PMN为直角三角形，PM=3，PN=4，根据勾股定理得：MN==5．

∵MN2+AM2≠AN2，即∠AMN≠90°，∴△AMN不是直角三角形，而△APM为直角三角形，则△APM与△AMN不相似．