Question

如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是

1. A.
   4cm
2. B.
   4cm
3. C.
   4cm
4. D.
   4cm

Answer 1

D
分析：过M作MG垂直CD交CD于G，根据勾股定理或解直角三角形的知识，于是想到直角三角形ECN，根据已知条件知EC=DN，而CN+DN=8，于是利用勾股定理可求CN，∠NEC的余弦，再根据倍角公式可求得cos∠MNG，从而求得GN，最后根据勾股定理求解．
解答：解：设CN=xcm，因为是沿着MN对折，对折前后图形对称，则
EN=DN=（8-x）cm，E是中点，CE=4cm，据勾股定理，有
4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，即CN=3cm．
过M作MG⊥CD交CD于G，易知MG=8cm，∠MNE=∠MNG=∠ENG，
而∠ENG=180°-∠ENC，cos∠ENC=，
可求得cos∠ENG=-，
再利用倍角公式 2（cos α）²-1=cos 2α，
可求得cos∠MNG=，
从而cot∠MNG=，
于是GN=×8=4cm，AM=DN=8-CN-GN=1cm．
GN=CD-CN-AM=4CM，
根据勾股定理MN²=AD²+GN²=80，
∴MN=4．
故选D．
点评：考查了翻折问题，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的．本题中DN=EN是解题关键，再利用勾股定理的知识就迎刃而解．