Question

如图，二次函数y=-

1

2

x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；
（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；
（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；
（4）过G作GH⊥y轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：解：（1）y=-

1

2

x²+2，
x=0时，y=2，
y=0时，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
代入得：

0=-2k+b 2=b

，
解得：k=1，b=2，
即直线AC的解析式是y=x+2；

（2）当0＜t＜2时，
OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=

1

2

（2-t）t=-

1

2

t²+t，
当2＜t≤4时，
OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=

1

2

（t-2）t=

1

2

t²-t，
∴s=

- 1 2 t2+t(0＜t＜2) 1 2 t2-t(2＜t≤4)

；

（3）当AC=CM=BC时，M的坐标是：（0，2

2

+2），（0，-2）；
当AM=BM=CM时，M的坐标是：（0，0），（0，2-2

2

）；
一共四个点，（0，2

2

+2），（0，0），（0，2-2

2

），（0，-2）；

（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=

2

2

t．
∵GH∥OP
∴

GH

PO

=

QH

QO

即

GH

2-t

=

GH+t

2+t

，解得GH=1-

t

2

，
所以GC=

2

GH=

2

-

2

2

t．
于是，GE=AC-AE-GC=2

2

-

2

2

t-(

2

-

2

2

t)=

2

．
即GE的长度不变．
当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=

2

2

t．
由

GH

PO

=

QH

QO

即

GH

t-2

=

t-GH

2+t

，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=

t-2

2

，
所以GC=

2

GH=

2 (t-2)

2

．
于是，GE=AC-AE+GC=2

2

-

2

2

t+

2 (t-2)

2

=

2

，
即GE的长度不变．
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值

2

．

点评：本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．