Question

在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为.
（1）求该二次函数的表达式
（2）设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标随时间≥)的变化规律为.现以线段为直径作⊙C.
①当点在起始位置点处时,试判断直线与⊙C的位置关系,并说明理由；在点运动的过程中,直线与⊙C是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由；
②若在点开始运动的同时,直线也向上平行移动,且垂足的纵坐标随时间的变化规律为,则当在什么范围内变化时,直线与⊙C相交? 此时,若直线被⊙C所截得的弦长为,试求的最大值.

Answer 1

解：（1 ）将点和点的坐标代入
得，解得
∴二次函数的表达式为
(2)①当点在点处时,直线与⊙C相切,理由如下
∵点,∴圆心的坐标为,∴⊙C的半径为
又抛物线的顶点坐标为(0, －1), 即直线l上所有点的纵坐标均为－1,从而圆心C到直线l的距离为
∴直线与⊙C相切.
在点运动的过程中,直线与⊙C始终保持相切的位置关系,理由如下:
设点≥1),则圆心的坐标为
∴⊙C的半径为,
,而圆心C到直线l的距离为,
∴直线与⊙C始终相切
②由①知, 圆C的半径为.
又∵圆心C的纵坐标为,直线l上的点的纵坐标为,所以
当≥,即≤时,圆心C到直线l的距离为
则由,得,解得, ∴此时≤；
当＜,即＞时,圆心C到直线l的距离为
则由,得,解得, ∴此时＜；
综上所述, 当时,直线与相交.