题目内容
如图，△ABC和△ADC是两个边长相等的等边三角形，点E从点B出发沿BA方向运动到点A停止，
同时点F以相同的速度从点 A出发，沿AD方向运动到点D停止．连接EC、FC．（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；
（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．
（3）若点E、F在射线BA、射线AD上继续运动下去，（1）小题中的结论还成立吗？（直接写出结论，不必说明理由）
分析：（1）由于BE=AF，BC=AC，且∠B、∠CAF都是60°，可证得△BCE≌△ACF，即可得∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，因此∠ECF的度数是定值，不会改变．
（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面积相等，因此四边形AECF的面积可转化为△ABC的面积，因此当E、F分别在线段AB、AD上运动时，四边形AECF的面积不变．
（3）由于当E、F分别在BA、AD延长线上时，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的结论是成立的．
（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面积相等，因此四边形AECF的面积可转化为△ABC的面积，因此当E、F分别在线段AB、AD上运动时，四边形AECF的面积不变．
（3）由于当E、F分别在BA、AD延长线上时，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的结论是成立的．
解答：解：（1）∵E、F的速度相同，且同时运动，
∴BE=AF，
又∵BC=AC，∠B=∠CAF=60°，
在△BCE和△ACF中，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠BCE=∠ACF，
因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
所以∠ECF=∠BCA=60°．
（2）答：没有变化．
证明：由（1）知：△BCE、△ACF的面积相等；
故：S四边形AECF=S△AFC+S△AEC=S△AEC+S△BEC=S△ABC；
因此四边形AECF的面积没有变化．
（3）回答（1）中结论成立．
由于当E、F分别在BA、AD的延长线上时，（1）的全等三角形仍然成立，故（1）的结论也成立．
∴BE=AF，
又∵BC=AC，∠B=∠CAF=60°，
在△BCE和△ACF中，
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∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠BCE=∠ACF，
因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
所以∠ECF=∠BCA=60°．
（2）答：没有变化．
证明：由（1）知：△BCE、△ACF的面积相等；
故：S四边形AECF=S△AFC+S△AEC=S△AEC+S△BEC=S△ABC；
因此四边形AECF的面积没有变化．
（3）回答（1）中结论成立．
由于当E、F分别在BA、AD的延长线上时，（1）的全等三角形仍然成立，故（1）的结论也成立．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
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