Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），动点P在以2单位/秒的速度，沿着OB→BA向点A移动，动点Q以1单位/秒沿着OA方向，向点A移动．若点P与点Q同时出发，运行的时间为t
（1）当点P在OB上移动时，求tan∠OQP；
（2）当点P在AB上移动时，求tan∠OQP；
（3）连接PQ，设PQ的中点为C，探索点C的运行路线．直接写出你探索的结果．

Answer 1

解：（1）当0≤t≤3时，点P在OB上时，由题意可知，OP=2OQ，
在Rt△OPQ中，tan∠OQP==2；

（2）当3＜t≤6时，点P在AB上时，作BD∥PQ，交x轴于点D，
∵OB=6，OA=8，
根据勾股定理得：AB=10，
∴OB+AB=2OA，
由题意可知，AP=2AQ，
∵BD∥PQ，可得△APQ∽△ABD且∠OQP=∠ODB，
∴AB=2AD，
∴AD=5，OD=3，
∴tan∠OQP=tan∠ODB==2；

（3）当0≤t≤3时，点C在线段y=2x（0≤x≤1.5）上运动，
当3≤t≤8时，点C在线段y=-x+（1.5≤x≤8）上运动．
分析：（1）根据题意可知OP=2OQ，然后根据直角三角形三角函数即可得出答案，
（2）根据题意构建直角三角形，由勾股定理及三角形相似等关系即可得出答案，
（3）根据题意及图示即可写出结论．
点评：本题主要考查了直角三角形三角函数、勾股定理、三角形相似的性质以及动点思考，难度较大．