Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

(1)求证：BC＝CD；

(2)求证：∠ADE＝∠ABD；

(3)设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵∠ABC＝90°， 　　∴OB⊥BC　　1分 　　∵OB是⊙O的半径， 　　∴CB为⊙O的切线　　2分 　　又∵CD切⊙O于点D， 　　∴BC＝CD　　3分 　　(2)∵BE是⊙O的直径， 　　∴∠BDE＝90°． 　　∴∠ADE＋∠CDB＝90°　　4分 　　又∵∠ABC＝90°， 　　∴∠ABD＋∠CBD＝90°　　5分 　　由(1)得BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD． 　　∴∠ADE＝∠ABD　　　6分 　　(3)由(2)得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A． 　　∴△ADE∽△ABD　　7分 　　∴＝　　8分 　　∴＝，∴BE＝3　　9分 　　∴所求⊙O的直径长为3　　10分