Question

5．已知关于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若抛物线y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分k+1=0和k+1≠0两种情况进行讨论即可；
（2）首先表示出方程的两根，两根为x₁=-1，${x_2}=\frac{4}{k+1}-2$，只需k+1能整除4即可，求出k的值；
（3）根据题意可得x₁-x₂=3或x₂-x₁=3，进而列出k的方程，求出k的值．

解答 解：（1）当k=-1时，方程为-4x-4=0是一元一次方程，有一个实数根；
当k≠-1时，△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²≥0，此时方程有两个实数根．
综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．  

（2）∵$x=\frac{1-3k±（k-3）}{2（k+1）}$，
∴x₁=-1，${x_2}=\frac{4}{k+1}-2$，
∵方程的两个根是整数，
∴k+1=±1，±2，±4，
又∵k为正整数，
∴k=1或3．              

（3）依题意得x₁-x₂=3或x₂-x₁=3，
当$-1-（\frac{4}{k+1}-2）=3$时，k=-3；
当$（\frac{4}{k+1}-2）-（-1）=3$时，k=0．
故k=-3或0．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系，解答此题还需要掌握根与系数的关系，此题难度不大．