Question

如图，已知在等腰直角三角形中，， 平分，与相交于点，延长到，使，
（1）求证：；

（2）延长交于，且，求证：；

（3）在⑵的条件下，若是边的中点，连结与相交于点．
试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵，
又∵；
∴，--------------------------3分
（2）∴，∴
又∵平分，∴
又∵，∴，
又∵
∴，∴
∴----------------------------- 7分
（3），,之间的数量关系为：
连结CG，∵，H是边的中点，
∴是的中垂线，
∴       在中有：
∴ -------------------------------------------------10分

（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，与已知DA=DF通过SAS证得△FBD≌△ACD；
（2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=AC，从而得出结论；
（3）连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出CG²=CE²+GE²，从而得出CE，GE，BG的关系．