Question

如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．
（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD；
（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．

Answer 1

（1）解：∵点D（1，m）在图象的对称轴上，
∴．
∴b=-2．
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴C（1，-4）；

（2）证明：∵D（1，1），且DE垂直于y轴，
∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．
∴∠DEB=∠EBO．
令y=1，则x²-2x-3=1，
解得：．
∵点E位于对称轴右侧，
∴E．
∴DE=．
令y=0，则x²-2x-3=0，求得点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（-1，0）．
∴BD=．
∴BD=DE．
∴∠DEB=∠DBE．
∴∠DBE=∠EBO．
∴BE平分∠ABD．

（3）解：∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，
且△GDE为直角三角形，
∴△ACG为直角三角形．
∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，
∴∠CAG=90°．
∵A（3，0）C（1，-4），AF⊥CG，
∴求得G点坐标为（1，1）．
∴AG=，AC=．
∴AC=2AG．
∴GD=2DE或DE=2GD．
设E（t，t²-2t-3）（t＞1），
①当点D在点G的上方时，则DE=t-1，
GD=（t²-2t-3）-1=t²-2t-4．
i．如图2，当GD=2DE时，
则有，t²-2t-4=2（t-1）．
解得，．（舍负）
ii．如图3，当DE=2GD时，
则有，t-1=2（t²-2t-4）．
解得，．（舍负）
②当点D在点G的下方时，则DE=t-1，
GD=1-（t²-2t-3）=-t²+2t+4．
i．如图4，当GD=2DE时，
则有，-t²+2t+4=2（t-1）．
解得，．（舍负）
ii．如图5，当DE=2GD时，
则有，t-1=2（-t²+2t+4）．
解得，．（舍负） 
综上，E点的横坐标为或或或3．
分析：（1）利用点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上得出b的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）首先得出E点坐标，进而得出BD=DE，即可得出BE平分∠ABD；
（3）利用①当点D在点G的上方时，②当点D在点G的下方时分别分类讨论得出即可．
点评：此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出E点坐标是解题关键．