题目内容

已知：x₁、x₂是关于x的方程x²-（m-2n）x+ $数学公式$ mn=0的两个实数根．
（1）若 $数学公式$ =2m-4n，且m≠2n，求mn的值；
（2）若n、x₁、x₂均为正数，且x₁=x₂，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵x₁+x₂=m-2n，x₁•x₂= $\text{[math]}$ mn，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2m-4n，
∵m≠2n，
∴mn=2；
（2）∵x₁=x₂，
∴△=0，即（m-2n）²-4× $\text{[math]}$ mn=0，
∴m²-5mn+4n²=0，
∴（m-4n）（m-n）=0，
∴m=4n或m=n，
∵x₁+x₂=m-2n，n、x₁、x₂均为正数，
∴m＞2n，
∴m=n不合题意舍去，
∴m=4n，
∴ $\text{[math]}$ =4．
分析：（1）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=m-2n，x₁•x₂= $\text{[math]}$ mn，再变形 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2m-4n，化简即可得到mn的值；
（2）由x₁=x₂，根据△的意义得到△=0，即（m-2n）²-4× $\text{[math]}$ mn=0，可得m=4n或m=n，而n、x₁、x₂均为正数，得到x₁+x₂=m-2n＞0，则m=4n．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．