题目内容

从一个等边三角形（如图①）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图②）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图③）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图④）．如此继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线．

如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第1次生长后，得图②，每个小等边三角形的边长为 $数学公式$ ，所形成的图形的周长为4a．
请填写下表：（用含a的代数式表示）
第1次
生长后第2次
生长后第3次
生长后 … 第n次
生长后
每个小等边
三角形的边长 $数学公式$ …
所形成的
图形的周长 4a …

$\text{[math]}$ a $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ a 3a（ $\text{[math]}$ ）² 3a（ $\text{[math]}$ ）³ 3a（ $\text{[math]}$ ）ⁿ
分析：找到相邻两个图形的周长之间的关系：后一个图形在前一个的基础上多了它的 $\text{[math]}$ ，以此类推，即可得到第4次变换后得到的图形的周长．边长变为原来的 $\text{[math]}$ ．
解答：仔细观察规律发现：每生长一次，边长都变为原来的 $\text{[math]}$ ，
即：第一次生长后，边长变为： $\text{[math]}$ a；
第二次生长后，边长变为 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a；
第三次生长后，边长变为： $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a
…
第三次生长后，边长变为： $\text{[math]}$ a；
解：第一次生长后，周长：3a× $\text{[math]}$ =4a
第二次生长后，周长：3a× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
第三次生长后，周长：3a× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
…
第n次生长后，周长：3a（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．
故答案为：第1次
生长后第2次
生长后第3次
生长后…第n次
生长后每个小等边
三角形的边长 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ a所形成的
图形的周长4a3a $\text{[math]}$ 3a（ $\text{[math]}$ ）³…3a（ $\text{[math]}$ ）ⁿ
点评：本题主要考查了图形的变化类问题，找到后一个图形的周长是前一个图形周长的 $\text{[math]}$ ，是解答本题的关键．