Question

如图，已知二次函数的图像过点A(-4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

  解：（1）将A(-4，3），B(4，4)代人中，
整理得：   解得            
∴二次函数的解析式为： ，
整理得：                                       
（2）由 
整理                
∴x₁=-2  ，x₂=  
∴C （-2，0） D               
从而有：AC²=4+9     BC²=36+16   AC²+ BC²=13+52=65                      
AB²=64+1=65             
 ∴ AC²+ BC²=AB²  故△ACB是直角三角形            
（3）设 （X<0）                
PH=  HD=  AC=  BC=              
①当△PHD∽△ACB时有：              
即：   整理                
∴    （舍去）此时，           
 ∴             
 ②当△DHP∽△ACB时有：        
  即：   整理            
∴        （舍去）此时，        
  ∴          
综上所述，满足条件的点有两个即