Question

已知关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²-3=0．
（1）若此方程有两个实数根，求实数k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x₁、x₂满足

1

x1

+

1

x2

=-

2

3

，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程根的判别式即可得到关于k的不等式，从而求解；
（2）根据根与系数的关系，以及

1

x1

+

1

x2

=-

2

3

，即

x2+x1

x1x2

=-

2

3

即可求解．

解答：解：（1）∵方程有两个实数根．
∴△=[-2（k+1）]²-4（k²-3）≥0．即8k+16≥0．
解得k≥-2．
（2）由根与系数的关系可知：x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3．
∵

1

x1

+

1

x2

=-

2

3

．
即

x2+x1

x1x2

=-

2

3

，
把x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3代入得

2(k+1)

k2-3

=0
∴2k（k+3）=0．
∴k₁=0，k₂=-3．
经检验：k₂=-3不符合题意，k₁=0是方程的根．
故k=0．

点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁•x₂=

c

a

．