Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙0的切线．
（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE= ，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图，

∵AB为⊙0的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分BC，即DB=DC，

∵OA=OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴EF是⊙0的切线

（2）解：∵∠DAC=∠DAB，

∴∠ADE=∠ABD，

在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD= = ，而AB=10，

∴AD=8，

在Rt△ADE中，sin∠ADE= = ，

∴AE= ，

∵OD∥AE，

∴△FDO∽△FEA，

∴ = ，即 = ，

∴BF= ．

【解析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE= ，然后由OD∥AE， 得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．