Question

【题目】如图，四边形OABC是矩形，点A坐标为（2，0），点C坐标为（0，4）．点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

（1）当△CBQ与△PAQ相似时，求出t的值；

（2）当t=1时，抛物线y=2x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，在该抛物线上找点D，使∠MQD=∠MPQ，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）或（2）或

【解析】

（1）根据矩形的性质得：∠B＝∠PAQ＝90，所以当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△PAQ∽△QBC时，，②当△PAQ∽△CBQ时，，分别列方程可得t的值；

（2）根据t＝1求抛物线的解析式，根据Q（2，2），M（0，2），可得MQ∥x轴，则PM＝PQ，PE⊥MQ，画出符合条件的点D，利用三角函数，列比例式可得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D．

（1）如图1，

∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，

∴0＜t＜2，

∵四边形OABC是矩形，

∴∠B＝∠PAQ＝90

∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

①当△PAQ∽△QBC时，

，

∴，

4t210t＋4＝0，

（4t2）（t2）=0，

t1＝2（舍），t2＝，

②当△PAQ∽△CBQ时，，

∴，

t26t＋4＝0，

t＝，

∵＞2，

∴t＝不符合题意，舍去，

综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；

（3）当t＝1时，P（1，0），Q（2，2），

把P（1，0），Q（2，2）代入抛物线y＝2x2＋bx＋c中得：

，解得：，

∴抛物线：y＝2x24x＋2＝2（x1）2，

∴顶点为P（1，0），

∵Q（2，2），M（0，2），

∴MQ∥x轴，

作抛物线对称轴，交MQ于E，设DQ交y轴于H，

∴PM＝PQ，PE⊥MQ，

∴∠MPE＝∠QPE＝∠MPQ，

如图2，∠MQD＝∠MPQ＝∠QPE，

∴tan∠MQD＝tan∠QPE＝，

即，MH＝1，

∴H（0，3），Q（2，2）

设HQ的解析式为y=kx+b

把H（0，3），Q（2，2）代入得，解得

∴y＝ x＋3，

则

，

解得：x1＝2（舍），x2＝ ，

∴D；

同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM＝∠MPQ＝∠QPE，

由对称性得：H（0，1），

设HQ的解析式为y=px+q

把H（0，1），Q（2，2）代入得，解得

∴y＝x＋1，

∴HQ的解析式：y＝x＋1，

则，

，

解得：x1＝2（舍），x2＝，

∴D；

综上所述，点D的坐标为：D或．