题目内容
【题目】如图，四边形OABC是矩形，点A坐标为（2，0），点C坐标为（0，4）．点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当△CBQ与△PAQ相似时，求出t的值；
（2）当t=1时，抛物线y=2x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，在该抛物线上找点D，使∠MQD=
∠MPQ，求点D的坐标．
【答案】（1）
或
（2）
或
【解析】
（1）根据矩形的性质得：∠B＝∠PAQ＝90
，所以当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△PAQ∽△QBC时，
，②当△PAQ∽△CBQ时，
，分别列方程可得t的值；
（2）根据t＝1求抛物线的解析式，根据Q（2，2），M（0，2），可得MQ∥x轴，则PM＝PQ，PE⊥MQ，画出符合条件的点D，利用三角函数，列比例式可得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D．
（1）如图1，
∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0＜t＜2，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝∠PAQ＝90
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，
，
∴
，
4t210t＋4＝0，
（4t2）（t2）=0，
t1＝2（舍），t2＝，
②当△PAQ∽△CBQ时，，
∴
，
t26t＋4＝0，
t＝
，
∵
＞2，
∴t＝不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；
（3）当t＝1时，P（1，0），Q（2，2），
把P（1，0），Q（2，2）代入抛物线y＝2x2＋bx＋c中得：
，解得：
，
∴抛物线：y＝2x24x＋2＝2（x1）2，
∴顶点为P（1，0），
∵Q（2，2），M（0，2），
∴MQ∥x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E，设DQ交y轴于H，
∴PM＝PQ，PE⊥MQ，
∴∠MPE＝∠QPE＝∠MPQ，
如图2，∠MQD＝∠MPQ＝∠QPE，
∴tan∠MQD＝tan∠QPE＝
，
即
，MH＝1，
∴H（0，3），Q（2，2）
设HQ的解析式为y=kx+b
把H（0，3），Q（2，2）代入得
，解得
∴y＝ x＋3，
则
，
解得：x1＝2（舍），x2＝ 
，
∴D；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM＝∠MPQ＝∠QPE，
由对称性得：H（0，1），
设HQ的解析式为y=px+q
把H（0，1），Q（2，2）代入得
，解得
∴y＝x＋1，
∴HQ的解析式：y＝x＋1，
则
，
，
解得：x1＝2（舍），x2＝，
∴D；
综上所述，点D的坐标为：D或．
