题目内容

如图，AB是半圆的直径，C是半圆弧上一点，CD⊥AB于D，
（1）若tan∠BCD= $数学公式$ ，AB=10，求CD的长；
（2）若AB=8，BD=2，设两弓形的面积（图中阴影部分）为S₁和S₂，求S₁-S₂．

解：（1）∵∠B+∠CAD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴tan∠CAB=tan∠BCD= $\text{[math]}$ ，
∴AC=2BC，
∴BC²+（2BC）²=AB²，
∴BC²+（2BC）²=100，
∴BC²=20，
∵BD= $\text{[math]}$ CD，
∴BD²+CD²=BC²，
∴（ $\text{[math]}$ CD）²+CD²=10²，
∴CD=4 $\text{[math]}$ ．
（2）方法一：∵OA=OB，
∴△AOC与△BOC的面积相等，
∴S₁-S₂= $\text{[math]}$ ×π×4²- $\text{[math]}$ ×π×4²= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π= $\text{[math]}$ π；
方法二：S₁= $\text{[math]}$ ×π×4²- $\text{[math]}$ ×4×2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π-4 $\text{[math]}$ ，
S₂= $\text{[math]}$ ×π×4²- $\text{[math]}$ ×4×2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π-4 $\text{[math]}$ ，
∴S₁-S₂= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π= $\text{[math]}$ π．
分析：（1）根据等角的三角函数值相等和勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理求出CD的长；
（2）根据扇形的面积公式求出S₁和S₂，再相减即可．
点评：本题考查了扇形面积的计算，根据图形特点，找到公式适用的条件是解题的关键．