Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，

（1）       如图1, E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.

求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；

（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.

Answer 1

1）① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,

∴ ∠ABC=60°.

在等边△ABD中，∠BAD=60°, 

∴ ∠BAD=∠ABC=60° .                       

∵ E为AB的中点，

∴ AE=BE.                                

又∵ ∠AEF=∠BEC ,                     

∴ △AEF≌△BEC .       

② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点

∴ CE=AB,BE=AB，

∴ ∠BCE=∠EBC=60° .                           

      又∵ △AEF≌△BEC,  

∴ ∠AFE=∠BCE=60° .

      又∵ ∠D=60°,  ∴ ∠AFE=∠D=60° .

         ∴ FC∥BD                                   

      又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，

∴ AD∥BC，即FD∥BC                          

        ∴ 四边形BCFD是平行四边形.                  

   （2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°  ∴∠CAH=90°

          在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC =a

∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.

          设AH = x ，则 HC=HD=AD-AH=2a-x.           

在Rt△ABC中，AC²=(2a) ²-a²=3a².

在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=(2a-x) ².

解得 x=a，即AH=a.

∴ HC=2a-x=2a-a=a