题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（2）在运动过程中，当t为何值时，△PQD是以∠PDQ为顶角的等腰三角形？并说明：此时，△PQD的面积恰好等于
PQ2．（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：根据题意分别画出相应的图形，（1）利用勾股定理求出BD的长度，再求出点P到达点D的时间以及点Q到达点C与点B的时间，然后分①点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，利用∠BCD的正弦求出PE的长度，再表示出DQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；②点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，利用∠CBD的正弦表示出PE，并用t表示出CQ、BQ的长度，然后根据S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，列式整理即可得解．
（2）由DP=DQ，推出10-2t=3t，t的值，得PD的值，确定Q点与C点重合，根据（1）所推出的结论求得S△PQD=
cm2，做PH⊥DC，由PH∥BC，得比例式
，便可求出PH，DH的值，继而得HQ的值，运用勾股定理求出PQ2=
cm2后，便可确定S△PQD=
PQ2；
（3）分情况进行讨论，①若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，结合图形和题意推出比例式
后，把PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm代入，即可求出t=
，②若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，由勾股定理得PD2=PQ2=DQ2，由P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，推出BP=2t，CD+CQ=3t，可知DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，继而推出PD2、PQ2、DQ2，关于t的表达式，根据等式PD2=PQ2=DQ2，即可求出t=
．
解答：
解：（1）∵AB=6cm，BC=8cm，
∴BD=
=
=10，
∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是3cm/m，
∴点P从点B到达点D的时间是10÷2=5秒，
点Q从点D到达点C的时间是6÷3=2秒，
到达点B的时间是（6+8）÷3=
秒，
①如图1①，点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，
则sin∠BDC=
=
，
即
=
，
解得PE=
（5-t），
S△PQD=
×3t•
（5-t）=
t（5-t）=-
t2+12t（0＜t≤2）；
②如图2②，点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，
则sin∠CBD=
=
，
即
=
，
解得PE=
t，
此时，CQ=3t-6，BQ=（6+8）-3t=14-3t，
S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，
=
×8×6-
×6（3t-6）-
×（14-3t）×
t，
=24-9t+18-
t+
t2，
=
t2-
t+42（2≤t＜
），
综上所述，S与t的关系式为S=-
t2+12t（0＜t≤2）；
S=
t2-
t+42（2≤t＜
）；
（2）如图2，∵DP=DQ，PB=2t，DQ=3t，BD=10cm，
∴10-2t=3t，
∴t=2，
∴DQ=3t=6，
∴Q点与C点重合，
∴S△PQD=-
t2+12t=
cm2，
做PH⊥DC，
∴PH∥BC，
∴
，
∵t=2，
∴PD=6cm，
∴
，
∴PH=
cm，DH=
cm，
∴HQ=HC=6-
=
cm，
∵∠PHC=90°，
∴PQ2=
cm2，
∴
PQ2=
cm2，
即S△PQD=
PQ2；
（3）存在这样的t，使得△PQD为直角三角形，
①如图3，若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，
∵矩形ABCD，
∴PQ∥BC，
∴
，
∵PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm，
∴
，
∴t=
，
②如图4，若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，
∴QP⊥BD，
∴PD2=PQ2=DQ2，
∵P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，
∴BP=2t，CD+CQ=3t，
∵CD=6cm，BD=10cm，BC=8cm，
∴DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，
∵∠C=90°，PQ⊥BD，
∴PD2=（10-2t）2=100-40t+4t2，
PQ2=BQ2-BP2=（14-3t）2-（2t）2=196-84t+5t2，
DQ2=CD2+CQ2=62+（3t-6）2=72+9t2-36t，
∵PD2=PQ2=DQ2，
∴100-40t+4t2+196-84t+5t2=72+9t2-36t，
解方程得：t=
，
∴当t=
或者t=
时，△PQD为直角三角形．
点评：本题主要考查直角三角形和等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，矩形的性质等知识点，关键在于对各相关性质定理的综合应用，在解题的过程中认真的进行计算，正确的进行分析．
（2）由DP=DQ，推出10-2t=3t，t的值，得PD的值，确定Q点与C点重合，根据（1）所推出的结论求得S△PQD=
cm2，做PH⊥DC，由PH∥BC，得比例式，便可求出PH，DH的值，继而得HQ的值，运用勾股定理求出PQ2=cm2后，便可确定S△PQD=PQ2；（3）分情况进行讨论，①若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，结合图形和题意推出比例式
后，把PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm代入，即可求出t=，②若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，由勾股定理得PD2=PQ2=DQ2，由P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，推出BP=2t，CD+CQ=3t，可知DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，继而推出PD2、PQ2、DQ2，关于t的表达式，根据等式PD2=PQ2=DQ2，即可求出t=．解答：
解：（1）∵AB=6cm，BC=8cm，∴BD=
==10，∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是3cm/m，
∴点P从点B到达点D的时间是10÷2=5秒，
点Q从点D到达点C的时间是6÷3=2秒，
到达点B的时间是（6+8）÷3=
秒，①如图1①，点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，
则sin∠BDC=
=，即
=，解得PE=
（5-t），S△PQD=
×3t•（5-t）=t（5-t）=-t2+12t（0＜t≤2）；②如图2②，点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，
则sin∠CBD=
=，即
=，解得PE=
t，此时，CQ=3t-6，BQ=（6+8）-3t=14-3t，
S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，
=
×8×6-×6（3t-6）-×（14-3t）×t，=24-9t+18-
t+t2，=
t2-t+42（2≤t＜），综上所述，S与t的关系式为S=-
t2+12t（0＜t≤2）；S=
t2-t+42（2≤t＜）；（2）如图2，∵DP=DQ，PB=2t，DQ=3t，BD=10cm，
∴10-2t=3t，
∴t=2，
∴DQ=3t=6，
∴Q点与C点重合，
∴S△PQD=-
t2+12t=cm2，做PH⊥DC，
∴PH∥BC，
∴
，∵t=2，
∴PD=6cm，
∴
，∴PH=
cm，DH=cm，∴HQ=HC=6-
=cm，∵∠PHC=90°，
∴PQ2=
cm2，∴
PQ2=cm2，即S△PQD=
PQ2；（3）存在这样的t，使得△PQD为直角三角形，
①如图3，若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，
∵矩形ABCD，
∴PQ∥BC，
∴
，∵PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm，
∴
，∴t=
，②如图4，若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，
∴QP⊥BD，
∴PD2=PQ2=DQ2，
∵P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，
∴BP=2t，CD+CQ=3t，
∵CD=6cm，BD=10cm，BC=8cm，
∴DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，
∵∠C=90°，PQ⊥BD，
∴PD2=（10-2t）2=100-40t+4t2，
PQ2=BQ2-BP2=（14-3t）2-（2t）2=196-84t+5t2，
DQ2=CD2+CQ2=62+（3t-6）2=72+9t2-36t，
∵PD2=PQ2=DQ2，
∴100-40t+4t2+196-84t+5t2=72+9t2-36t，
解方程得：t=
，∴当t=
或者t=时，△PQD为直角三角形．点评：本题主要考查直角三角形和等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，矩形的性质等知识点，关键在于对各相关性质定理的综合应用，在解题的过程中认真的进行计算，正确的进行分析．
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