题目内容
【题目】如图，已知直线
分别交
轴、
轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC
轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为
，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与
AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①
②答案见解析 （2）存在，
或
【解析】
（1）①如图1，把抛物线解析式配成顶点式可得到顶点为
的坐标为
，
，然后计算自变量为
对应的一次函数值可得到
点坐标；
②易得
，设
点坐标为
，则
，则
，由于
，根据平行四边形的判定方法，当
时，四边形
为平行四边形，即
，求出
得到此时点坐标为
，
，接着计算出
，然后比较与
的大小关系可判断平行四边形是否为菱形；
（2）如图2，利用勾股定理计算出
，再表示出
，则可计算出
，接着表示出抛物线解析式为
，则可用
表示出点
坐标为
，所以
，由于
，根据相似三角形的判定方法，当
时，
，即
；当
时，
，即
，然后利用比例性质分别求出的值，从而得到对应的抛物线的解析式．
（1）①如图1，
，
顶点为
的坐标为，，
当
时，
，则点
坐标为，
；
②不存在．
理由如下：
，
设
点坐标为
，则
，
，
，
当
时，四边形
为平行四边形，即
，解得
（舍去），
，此时点坐标为，，
，
，
平行四边形不为菱形，
不存在点，使四边形为菱形；
（2）存在．
如图2，
，
，则
，
当
时，
，则
，
，
设抛物线的解析式为
，
把
代入得
，解得
，
抛物线的解析式为
，
当时，
，则
，
，
，
，
当
时，
，即
，解得
，此时抛物线解析式为
；
当
时，
，即
，解得
，此时抛物线解析式为
；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或．
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