Question

【题目】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．

（1）用直尺和圆规在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹），判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（友情提醒：必须作在答题卷上哦！）

（2）若AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）图见解析，直线BC与⊙O相切，理由见解析；（2）

【解析】

（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，据此作图即可；因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为x，证△BOD∽△BAC得，即，解之可得．

解：（1）直线BC与⊙O相切．理由如下：

作图如图所示，连接OD，

∵AD为角平分线，

∴∠OAD＝∠CAD，

又∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴OD∥AC，

∵AC⊥BC，

∴OD⊥BC，

∴直线BC与⊙O相切；

（2）设⊙O的半径为x，

∵AC＝3，BC＝4，

∵AB＝5，

又OD⊥BC，则OD∥BC，

∴△BOD∽△BAC，

∴，

即，

解得x＝，

∴⊙O的半径为．