Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．

（1）求证：AF∥BE；

（2）求证：；

（3）若AB=2，求tan∠F的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析‘；（2）证明见解析；（3）tan∠F=．

【解析】

（1）根据三角形中等边对等角得到∠OAF=∠F，由同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠F，从而得出∠OAF=∠B，由此可得FA∥BE．

（2）根据弦切角定理得∠PAC=∠F，从而证出△APC∽△FAC，利用对应边成比例及AB=AC，证出，再根据比例的性质整理可得，AB=AC．得证．

（3）根据切割线定理，结合题中数据可得CP（CP+PF）=AC2=4，由此解出CP=（舍负）．再由FP为⊙O的直径得∠FAP=90°，在Rt△FAP中利用三角函数的定义，结合（2）中的结论即可算出tan∠PFA的值．

（1）证明：∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，

∴OA=OF，

∴∠OAF=∠F．

又∵∠B=∠F，

∴∠OAF=∠B．

∴FA∥BE．

（2）证明：∵AC为⊙O的切线，PA是弦，

∴∠PAC=∠F．

∵∠C=∠C，

∴△APC∽△FAC．

∴．

∴．

∵AB=AC，

∴；

（3）解：∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，

∴AC2=CP×CF=CP（CP+PF），

∵PF=AB=AC=2，

∴CP（CP+2）=4，

整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=，

∵CP＞0，

∴CP=．

∵FP为⊙O的直径，

∴∠FAP=90°，

∴在Rt△FAP中，tan∠F==．