Question

已知x₁，x₂是一元二次方程x²+2（m-1）x+3m²-11=0的两个实数根．
（1）m取什么实数时，方程有两个相等的实数根；
（2）是否存在实数m，使方程的两根x₁，x₂满足

x2

x1

+

x1

x2

=-1？若存在，求出方程的两根；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程x²+2（m-1）x+3m²-11=0的两个实数根得出，△=b²-4ac=0，进而求出m即可；
（2）根据根与系数的关系得出m的值即可．

解答：解：∵a=1，b=2（m-1），c=3m²-11，
∴△=b²-4ac=[2（m-1）]²-4×1×（3m²-11）=-8m²-8m+48，
当△=0时，∴0=-8m²-8m+48，
解得：m₁=-3，m₂=2；

（2）假设存在m，则由题意得出：

x1+x2=-2(m-1) x1x2=3m2-11

，
又

x2

x1

+

x1

x2

=-1，
即

x 2 1 + x 2 2

x1x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

[-2(m-1)]2-2(3m2-11)

3m2-11

=-1，
则[2（m-1）]²=3m²-11，
解得：m=3或m=5；
经检验得出：当m=3或m=5时，△＜0方程无解，
所以实数m不存在．

点评：此题主要考查了根的判别式以及根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．