题目内容

设有一个边长为1的正三角形，记作A₁如图（1），将A₁的每条边三等分，在中间的线段上向图形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A₂如图（2）；将A₂的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A₃如图（3）；将A₃的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A₄，那么A₄的周长是______．

解：观察图形发现：第一个图形的周长是3，
第二个图形的周长是3+3× $\text{[math]}$ =3× $\text{[math]}$ ，
第三个图形的周长是3× $\text{[math]}$ +3×4× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =3× $\text{[math]}$ ，
以此类推，
第4个图形的周长是3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：此题考点是在三角形的周长的基础上增加了关于等分之间的关系问题，仔细看图，分析，找出规律即可得出结论．
点评：首先结合图形计算出前面几个图形的周长，从而发现规律进行计算．

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为了探究夹角为60°的V形架中放置正多边形钢板的稳定性问题（正多边形的重心就是它的中心，重心越低越稳定），请按以下放置的方式进行计算和猜想：
（1）将一个边长为 20cm的正三角形钢板（用△ABC表示）按图1，图2，图3，的三种方式进行放置．已知在图3中，重心距地面的距离为

，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？

（2）若将（l）中的正三角形钢板换成边长为 20cm的正方形钢板（如图4，图5，图6）．已知在图6中，重心距地面的距离约为23.7cm，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？（可能用到的数据：

（3）通过上述计算，若将一个边长为 20cm的正六边形钢板放置于架中（如图7，图8，图9），你认为

的重心最低（只须填图形的编号，不必计算）．

一个边长为2cm的正六边形的每个中心角的度数为

度，每个内角的度数为

度，边心距是

已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为a，BM的长度为b．
（1）图形①中∠B=

°，图形②中∠E=

°；
（2）小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”．
①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片

张；
②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹．（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）

如图，设有一个边长为1的正三角形（图1），将每条边三等分，以中间的线段为一边向外做正三角形，并去掉中间的线段后得到图2，称为第1次“生长”；再将图2的每条边三等分，并重复上述过程，得到图3，称为第2次“生长”；…．则第2次“生长”后的图形的周长等于

，第n次“生长”后的图形的周长等于

已知如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°，图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为a，BM的程度为b．
（1）图形①中∠B=

度，图形②∠E中=

度；
（2）爱动脑筋的小聪同学，将图形①命名为“风筝一号”，图形②命名为“飞镖一号”，他用这两种纸片各若干张，设计了以下拼图游戏，请你和他一起玩吧：

①若仅用“风筝一号”拼成一个边长为b的正十边形（正十边形是指所有的边相等，所有的角也相等的十边形），需要这种纸片

张；
②若同时使用若干张“风筝一号”和“飞镖一号”拼成了一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ，请你在图3中画出拼接馅饼保留作图痕迹．
（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）