Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，且AC⊥AB，若AB=6，cos∠DBA=

9

11

，求AD．

Answer 1

考点：梯形,解直角三角形

专题：几何综合题

分析：作出图形，过点A作AE∥CD交BC于点E，判断出四边形AECD是菱形，根据菱形的性质可得AE=CE=AD，然后求出∠CAE=∠ACE，再根据等角的余角相等求出∠ABC=∠BAE，根据等角对等边可得BE=AE，从而求出AD=AE=

1

2

BC，设AC、BD相交于点O，根据cos∠DBA求出OB，利用勾股定理列式求出AO，再根据△AOD和△BOC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OC，从而得到AC，然后利用勾股定理列式求出BC，即可得解．

解答：解：如图，过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵AD=CD，
∴四边形AECD是菱形，
∴AE=CE=AD，
∴∠CAE=∠ACE，
∵AC⊥AB，
∴∠BAE+∠CAE=∠ABC+∠ACE=90°，
∴∠ABC=∠BAE，
∴BE=AE，
∴AD=AE=

1

2

BC，
设AC、BD相交于点O，∵AB=6，cos∠DBA=

9

11

，
∴OB=6÷

9

11

=

22

3

，
由勾股定理得，AO=

OB2-AB2

=

( 22 3 )2-62

=

4 10

3

，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴

AO

OC

=

AD

BC

=

1

2

，
∴OC=2AO=

8 10

3

，
∴AC=AO+OC=

4 10

3

+

8 10

3

=4

10

，
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=

62+(4 10 )2

=14，
∴AD=

1

2

BC=

1

2

×14=7．

点评：本题考查了梯形的性质，解直角三角形，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出菱形和直角三角形并求出AD=

1

2

BC．