Question

（2012•衢州模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P从点C出发沿C-A-B方向运动到点B，运动速度为1个单位每秒，运动时间为t，当△BCP为等腰三角形时，则t的值为

3或6或

27

5

或

13

2

．

Answer 1

分析：当△BCP为等腰三角形时应分当C是顶角顶点，当B是顶角顶点，当P是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理和三角形的中位线定理求得BP的长，从而求解．

解答：解：当C是顶角顶点时，当如图（1）所示：PC=BC=3，则运动的时间是3秒；
当如图（2）所示：CE=

AC•BC

AB

=

3×4

5

=

12

5

，
在直角△BCE中，BE=

BC2-CE2

=

9

5

．
则PB=2BE=

18

5

，AC+AP=4+5-

18

5

=

27

5

；
当B是顶角顶点时，AP+AC=AC+AB-BP=4+5-3=6，则t的值是6；
当P是顶角的顶点时，P是BC的中垂线与AB的交点，如图（3），
PE是△ABC的中位线，则PE=

1

2

AC=2，
则直角△BPE中，BP=

BE2+PE2

=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，
则AC+AP=AC+AB-BP=4+5-

5

2

=

13

2

，则运动的时间t是

13

2

秒．
故答案是：3或6或

27

5

或

13

2

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，正确进行讨论是关键．