Question

（2013•六合区一模）如图1，直线l垂直于x轴，垂足的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，1），其关于直线l对称点为点B．若此时分别以点A，B为圆心，1cm为半径画圆，则此时这两个圆外切．我们称⊙A与⊙B关于直线l“对称外切”． 
（1）如图2若直线l是函数y=

4

3

x的图象，⊙A是以点A为圆心，1cm为半径的圆．判断函数y=

4

3

x图象与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）请直接写出与⊙A关于函数y=

4

3

x图象的“对称外切”的⊙B的圆心坐标．

Answer 1

分析：（1）设过点A与x轴平行的直线交y轴于点C，函数y=

4

3

x的图象与直线AC交于点D，过点A作AE垂直于直线y=

4

3

x，垂足为E，根据直线解析式求出CD的长，再求出AD的长，然后利用勾股定理列式求出OD，从而得到AD=OD，再利用“角角边”证明△COD和△EAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CO，最后根据切线的定义证明即可；
（2）连接AB，过点B作BF⊥AC于F，利用∠EAD的正弦和余弦求出BF、AF的长，然后求出点B的横坐标与纵坐标即可得解．

解答：解：（1）如图，设过点A与x轴平行的直线交y轴于点C，函数y=

4

3

x的图象与直线AC交于点D，
过点A作AE垂直于直线y=

4

3

x，垂足为E．　
当y=1时，x=

3

4

，
即CD=

3

4

，
∴AD=2-

3

4

=

5

4

，
在Rt△COD中，根据勾股定理，得OD²=OC²+CD²=

25

16

，
∴OD=

5

4

，
∵AD=

5

4

，OD=

5

4

，
∴AD=OD，
在△COD和△EAD中，

∠OCD=∠AED=90° ∠CDO=∠EDA AD=OD

，
∴△COD≌△EAD（AAS），
∴AE=CO=1，
∴直线y=

4

3

x与⊙A相切；

（2）如图，连接AB，过点B作BF⊥AC于F，
∵△COD≌△EAD，
∴∠EAD=∠COD，
又AB=1+1=2，
∴BF=AB•sin∠EAD=2×

3 4

5 4

=

6

5

，
AF=AB•cos∠EAD=2×

1

5 4

=

8

5

，
∴点B的横坐标为：2-

8

5

=

2

5

，
点B的纵坐标：1+

6

5

=

11

5

，
所以，点B（

2

5

，

11

5

）．

点评：本题是圆的综合题型，主要利用了勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的切线的判定，锐角三角函数，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，（2）作辅助线利用锐角三角函数求解更加简便．