Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP．

(1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标；

(2)若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标；

(3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；(2)P的横坐标为或.(3)点P的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6).

【解析】

(1)利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；

(2)利用△AQP∽△AOC得到AQ＝4PQ，设P(m，﹣m2+3m+4)，所以m＝4|4﹣(﹣m2+3m+4|，然后解方程4(m2﹣3m)＝m和方程4(m2﹣3m)＝﹣m得P点坐标；

(3)设P(m，﹣m2+3m+4)(m＞)，当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ＝m2﹣3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B＝4m﹣12，则OQ′＝12﹣3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+(12﹣3m)2＝m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ＝PQ′得到|m2﹣3m|＝m，然后解方程m2﹣3m＝m和方程m2﹣3m＝﹣m得此时P点坐标．

解：(1)把A(0，4)，B(4，0)分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4，

当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴C(﹣1，0)；

故答案为y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；

(2)∵△AQP∽△AOC，

∴，

∴，即AQ＝4PQ，

设P(m，﹣m2+3m+4)，

∴m＝4|4﹣(﹣m2+3m+4|，即4|m2﹣3m|＝m，

解方程4(m2﹣3m)＝m得m1＝0(舍去)，m2＝，此时P点横坐标为；

解方程4(m2﹣3m)＝﹣m得m1＝0(舍去)，m2＝，此时P点坐标为；

综上所述，点P的坐标为(，)或(，)；

(3)设，

当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，

则PQ＝4﹣(﹣m2+3m+4)＝m2﹣3m，

∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，

∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m，

∵∠AQ′O＝∠Q′PH，

∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，

∴，即，解得Q′H＝4m﹣12，

∴OQ′＝m﹣(4m﹣12)＝12﹣3m，

在Rt△AOQ′中，42+(12﹣3m)2＝m2，

整理得m2﹣9m+20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此时P点坐标为(4，0)或(5，﹣6)；

当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，

∴PQ＝AQ′，

即|m2﹣3m|＝m，

解方程m2﹣3m＝m得m1＝0(舍去)，m2＝4，此时P点坐标为(4，0)；

解方程m2﹣3m＝﹣m得m1＝0(舍去)，m2＝2，此时P点坐标为(2，6)，

综上所述，点P的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6)