Question

【题目】如图，正方形的边长为，点是边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，则，求出此时的值；

如图，矩形中，，，点是边的中点，同样将沿翻折得到，延长交边于点．

①证明：；

②若点恰是边的中点，求的值；

③若与相似，求的值．

Answer 1

【答案】 ；①见解析；②，③．

【解析】

（1）首先设DG为x，则由正方形的性质即可求得BG与CG的值，利用勾股定理构造方程，解方程即可求得DG的值；

（2）①首先连接EG，由△FBE是由△ABE翻折得到的，利用HL，即可求得Rt△EFG≌Rt△EDG，则可证得DG=FG；

②由G是CD的中点，得到DG与CG的值，在Rt△BCG中，利用勾股定理即可求得AD的长；

③由平行线与翻折变换的性质，易得：∠ABE=∠CGB，又由相似三角形的性质与三角函数的性质，即可求得AD的值．

解：设为，

由题意得：，，

由勾股定理得：，

有：，

解得：．

∴；①证明：连接，

∵是由翻折得到的，

∴，，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴；

②解：若是的中点，则，

在中，，

∴．

③解：由题意，

∴．

∵是由翻折得到的，

∴，

∴．

∴若与相似，则必有．

在中，，

∴．