Question

如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（-3

3

，1）、C（-3

3

，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（-

3

，1）、F（-

4 3

3

，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据E、F的坐标，设出直线式EF的解析式为y=kx+b，两点坐标代入，求出k和b即可；
（2）过B′作B′A′⊥BA于A′，在Rt△B′EA′中，通过解直角三角形可求出A′E、A′B′的长，通过证A′E=AE，得出B′在y轴上的结论，从而得出B′坐标，进而用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）连接B′C，由于B、B′关于EF所在直线对称，则B′C与折痕的交点即为所求的P点，可求出直线B′C的解析式，联立折痕EF的解析式即可求出P点坐标．

解答：解：（1）由于折痕所在直线EF过E（-

3

，1）、F（-

4 3

3

，0），则有：
∴设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴

1=- 3 k+b 0=- 4 3 3 k+b

；
解得k=

3

，b=4，
所以直线EF的解析式为：y=

3

x+4．

（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B′（x₁，y₁），C′（x₂，y₂）；
过B′作B′A′⊥AE交AE所在直线于A′点；
∵B′E=BE=2

3

，∠B′EF=∠BEF=60°，
∴∠B′EA′=60°，
∴A′E=

3

，B′A′=3；
∴A与A′重合，B′在y轴上；
∴x₁=0，y₁=-2，
即B′（0，-2）；【此时需说明B′（x₁，y₁）在y轴上】．
设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c，抛物线过B（-3

3

，1）、E（-

3

，1）、B′（0，-2）；
得到

c=-2 3a- 3 b+c=1 27a-3 3 b+c=1

，
解得

a=- 1 3 b=- 4 3 3 c=-2

∴该二次函数解析式y=-

1

3

x²-

4 3

3

x-2；

（3）能，可以在直线EF上找到P点；
连接B′C交EF于P点，再连接BP；
由于B′P=BP，此时点P与C、B′在一条直线上，故BP+PC=B′P+PC的和最小；
由于BC为定长，所以满足△PBC周长最小；
设直线B′C的解析式为：y=kx+b，则有：

-2=b 0=-3 3 k+b

，
解得

k=- 2 3 9 b=-2

；
∴直线B′C的解析式为：y=-

2 3

9

x-2；
又∵P为直线B′C和直线EF的交点，
∴

y=- 2 3 9 x-2 y= 3 x+4

，
解得

x=- 18 11 3 y=- 10 11

；
∴点P的坐标为（-

18 3

11

，-

10

11

）．

点评：此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，轴对称图形的性质、函数图象交点等知识，难度偏大．