Question

【题目】如图，在等边中，点，分别是，上的动点，且，交于点．

（1）如图1，求证；

（2）点是边的中点，连接，．

①如图2，若点，，三点共线，则与的数量关系是 ；

②若点，，三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见详解；（2）①；②结论成立，证明见详解

【解析】

（1）先证明，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；

（2）①；由等边三角形的性质和已知条件得出AM⊥BC，∠CAP＝30°，可得PB＝PC，由∠BPC＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB＝30°，进而可得AP＝PC，由30°角的直角三角形的性质可得PC＝2PM，于是可得结论；

②延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，根据SAS可证△ACD≌△BCP，得出AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，然后延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，易证△CMN≌△BMP（SAS），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP，即可证得结论．

（1）证明：因为△ABC为等边三角形，所以

∵ ，∴ ，∴，

在四边形AEPD中，∵，

∴，

∴，∴；

（2）①如图2，∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，

∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝∠BAC＝30°，∴PB＝PC，

∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，

∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，

∴AP＝PC，∴AP＝2PM；

故答案为：；

②AP＝2PM成立，理由如下：

延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，

∴△PCD是等边三角形，

∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，

∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，

∴∠BCP＝∠ACD，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，

∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，

延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，

∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，

∴△CMN≌△BMP（SAS），

∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，

∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，

∴∠NCP＝60°＝∠ADP，

在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，

∴△ADP≌△NCP（SAS），

∴AP＝PN＝2CM；