Question

【题目】如图1，已知ED垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．

（1）求证：∠AFE=∠CFD；

（2）如图2．在△GMN中，P为MN上的任意一点．在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN，保留作图痕迹，写出作法并作简要证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．

【解析】

（1）根据垂直平分线的性质证明三角形CFB是等腰三角形，进而证明∠AFE＝∠CFD；

（2）作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于点Q，结合（1）即可证明∠GQM＝∠PQN．

（1）∵ED垂直平分BC，

∴FC=FB，

∴△FCB是等腰三角形．

∵FD⊥BC，

由等腰三角形三线合一可知：

FD是∠CFB的角平分线，

∴∠CFD=∠BFD．

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠AFE=∠CFD．

（2）作点P关于GN的对称点P'，

连接P'M交GN于点Q，

点Q即为所求．

∵QP=QP'，

∴△QPP'是等腰三角形．

∵QN⊥PP'，

∴QN是∠PQP'的角平分线，

∴∠PQN=∠P'QN．

∵∠GQM=∠P'QN，

∴∠GQM=∠PQN．