Question

【题目】如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，BC=2，点P，Q，R分别是AB，AC，BC上的动点，PQ+PR+QR的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，作点P关于AC的对称点P′，点P关于BC的对称点P″，连接P′Q，P″R，CP′，CP″，PC．首先证明P′、C′、P″共线，由CP=CP′=CP″，推出△PP′P″是直角三角形，推出PQ+RQ+PR=P′R+QR+RP″≤P′P″，推出PQ+PR+QR的最小值，就是线段P′P″的长，当PC⊥AB时，P′P″的长最小，由此即可求解.

如图，作点P关于AC的对称点P′，点P关于BC的对称点P″，连接P′Q，P″R，CP′，CP″，PC．

根据对称的性质可知：QP′=QP，RP″=RP，CP=CP′=CP″，∠ACP=∠ACP′，∠PCR=∠BCP″，

∵∠ACB=90°，

∴∠PCP′+∠PCP″=180°，

∴P′，C′，P″共线，

∵CP=CP′=CP″，

∴△PP′P″是直角三角形，

∴PQ+RQ+PR=P′R+QR+RP″≤P′P″，

∴PQ+PR+QR的最小值，就是线段P′P″的长，

当PC⊥AB时，P′P″的长最小，

在Rt△ACB中，∵∠A=30°，BC=2，

∴AC=2，AB=4，

当PC⊥AB时，PC==，

∴PQ+PR+QR的最小值是．

故答案为：．