Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的长是关于x的方程x²+px+q=0的两根，且tanA-tanB=2，求p、q的值．

Answer 1

分析：利用射影定理可得AD×BD的长，也就求得了q的长，用线段表示出tanA与tanB的值，把tanA-tanB=2，整理为根与系数表示的形式可得两根之差，进而求得两根之和，也就求得了p的值．

解答：解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，
∴CD²=AD×BD，
∴q=AD×BD=1，
∵tanA-tanB=2，
∴

CD

AD

-

CD

BD

=2，
∴BD-AD=2，
∵（BD+AD）²=（BD-AD）²+4BD×AD，
∴BD+AD=2

2

，
∴p=-（BD+AD）=-2

2

．

点评：总和考查了解直角三角形，根与系数的关系及射影定理的知识；用到的知识点为：若方程为x²+bx+c=0，两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项．